概率论与数理统计考研复习小结

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  随机事件和概率考查的主要内容有:
  (1)事件之间的关系与运算,以及利用它们进行概率计算;
  (2)概率的定义及性质,利用概率的性质计算一些事件的概率;
  (3)古典概型与几何概型;
  (4)利用加法公式、条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式计算概率;
  (5)事件独立性的概念,利用独立性计算事件的概率;
  (6)独立重复试验,伯努利概型及有关事件概率的计算。
  要求:考生理解基本概念,会分析事件的结构,正确运用公式,掌握一些技巧,熟练地计算概率。
  随机变量及概率分布考查的主要内容有:
  (1)利用分布函数、概率分布或概率密度的定义和性质进行计算;
  (2)掌握一些重要的随机变量的分布及性质,主要的有:(0-1)分布、二项分布、泊松分布、几何分布、超几何分布、均匀分布、指数分布和正态分布,会进行有关事件概率的计算;
  (3)会求随机变量的函数的分布。
  (4)求两个随机变量的简单函数的分布,特别是两个独立随机变量的和的分布。要求:考生熟练掌握有关分布函数、边缘分布和条件分布的计算,掌握有关判断独立性的方法并进行有关的计算,会求两个随机变量函数的分布。
  随机变量的数字特征考查的主要内容有:
  (1)数学期望、方差的定义、性质和计算;
  (2)常用随机变量的数学期望和方差;
  (3)计算一些随机变量函数的数学期望和方差;
  (4)协方差、相关系数和矩的定义、性质和计算;
  要求:考生熟练掌握数学期望、方差的定义、性质和计算,掌握由给出的试验确定随机变量的分布,再计算有关的数字的特征的方法,会计算协方差、相关系数和矩,掌握判断两个随机变量不相关的方法。
  大数定律和中心限定理考查的主要内容有:
  (1)切比雪夫不等式;
  (2)大数定律;
  (3)中心极限定理。
  要求:考生会用切比雪夫不等式证明有关不等式,会利用中心极限理进行有关事件概率的近似计算。
  数理统计的基本概念考查的主要内容有:
  (1)样本均值、样本方差和样本矩的概念、 性质及计算;
  (2)χ2分布、t分布和F分布的定义、性质及分位数;
  (3)推导某些统计量的(特别是正态总体的某些统计量)的分布及计算有关的概率。
  要求:考生熟练掌握样本均值、样本方差的性质和计算,会根据χ2分布、 t分布和F分布的定义和性质推导有关正态总体某些统计的计量的分布。
  参数估计考查的主要内容有:
  (1)求参数的矩估计、极大似然估计;
  (2)判断估计量的无偏性、有效性、一致性;
  (3)求正态总体参数的置信区间。
  要求:考生熟练地求得参数的矩估计、极大似然估计并判断无偏性,会求正态总体参数的置信区间。
  假设检验考查的显著的主要内容有:
  (1)正态总体参数的显著性检验;
  (2)总体分布假设的χ2检验。
  要求:考生会进行正态总体参数的显著性检验和总体分布假设的χ2检验。
  常有的题型有:填空题、选择题、计算题和证明题,试题的主要类型有:
  (1)确定事件间的关系,进行事件的运算;(2)利用事件的关系进行概率计算;(3)利用概率的性质证明概率等式或计算概率;(4)有关古典概型、几何概型的概率计算;(5)利用加法公式、条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式计算概率;(8)利用随机变量的分布函数、概率分布和概率密度的定义、性质确定其中的未知常数或计算概率;(9)由给定的试验求随机变量的分布;(10)利用常见的概率分布(例如(0-1)分布、二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布等)计算概率;(11)求随机变量函数的分布(12)确定二维随机变量的分布;(13)利用二维均匀分布和正态分布计算概率;(14)求二维随机变量的边缘分布、条件分布;(15)判断随机变量的独立性和计算概率;(16)求两个独立随机变量函数的分布;(17)利用随机变量的数学期望、方差的定义、性质、公式,或利用常见随机变量的数学期望、方差求随机变量的数学期望、方差;(18)求随机变量函数的数学期望;(19)求两个随机变量的协方差、相关系数并判断相关性;(20)求随机变量的矩和协方差矩阵;(21)利用切比雪夫不等式推证概率不等式;(22)利用中心极限定理进行概率的近似计算;(23)利用t分布、χ2分布、F分布的定义、性质推证统计量的分布、性质;(24)推证某些统计量(特别是正态总体统计量)的分布;(25)计算统计量的概率;(26)求总体分布中未知参数的矩估计量和极大似然估计量;(27)判断估计量的无偏性、有效性和一致性;(28)求单个或两个正态总体参数的置信区间;(29)对单个或两个正态总体参数假设进行显著性检验;(30)利用χ2检验法对总体分布假设进行检验。
  这一部分主要考查概率论与数理统计的基本概念、基本性质和基本理论,考查基本方法的应用。对历年的考题进行分析,可以看出概率论与数理统计的试题,即使是填空题和选择题,只考单一知识点的试题很少,大多数试题是考查考生的理解能力和综合应用能力。要求考生能灵活地运用所学的知识,建立起正确的概率模型,综合运用极限、连续函数、导数、极值、积分、广义积分以及级数等知识去解决问题。
  在解答这部分考题时,考生易犯的错误有:
  (1) 概念不清,弄不清事件之间的关系和事件的结构;
  (2) 对试验分析错误,概率模型搞错;
  (3) 计算概率的公式运用不当;
  (4) 不能熟练地运用独立性去证明和计算;
  (5) 不能熟练掌握和运用常用的概率分布及其数字特征;
  (6) 不能正确应用有关的定义、公式和性质进行综合分析、运算和证明。
  综合历年考生的答题情况,得知概率论与数理统计试题的得分率在0.3左右,区分度一般在0.40以上。这表明试题既有一定的难度,又有较高的区分度。
 

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